Странно, непонятно, интегрально

Непосредственное интегрирование, замена переменной, интегрирование тригонометрических функций, интегрирование иррациональностей и так далее.
Maxmen1332
Сообщения: 2
Зарегистрирован: 15 янв 2019, 15:54

Странно, непонятно, интегрально

Сообщение Maxmen1332 » 15 янв 2019, 16:17

\(\int\frac{dx}{(x^2+9)\sqrt{16-x^2}}\)
\(\int\frac{dx}{x^5(x^4+1)^2}\)

Либо это совсем не очевидно, либо я в глаза слу-слу. На проверку выходит, что как-то можно запилить подставновку Эйлера или что-то в этом духе, как мне советует товарищ Фихтенгольц, но ведь точно есть решение поизящнее? ведь так?
Если что, это Ефимов-Демидович 6.281 и 6.274 соответственно.
Админу добра
Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1501
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Странно, непонятно, интегрально

Сообщение Добрый Волк » 15 янв 2019, 23:37

Мне кажется, что здесь можно поступить проще, нежели применять некие общие методы.

В первом интеграле вполне сработает замена \(x=4\sin{t}\), после применения которой получим:

\(
\int\frac{dx}{\left(x^2+9\right)^2\sqrt{16-x^2}}
=\int\frac{dt}{16\sin^2{t}+9}
=\int\frac{\frac{dt}{\sin^2{t}}}{16+\frac{9}{\sin^2{t}}}
=\int\frac{d(\ctg{t})}{25+9\ctg^2{t}}=\ldots
\)


Во втором интеграле можно домножить числитель и знаменатель на \(x^3\), тогда станет доступна подстановка \(u=x^4\).

\(
\int\frac{dx}{x^5\cdot\left(x^4+1\right)^2}
=\int\frac{x^3dx}{x^8\cdot\left(x^4+1\right)^2}
=\frac{1}{4}\cdot\int\frac{du}{u^2\cdot(u+1)^2}=\ldots
\)
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Maxmen1332
Сообщения: 2
Зарегистрирован: 15 янв 2019, 15:54

Re: Странно, непонятно, интегрально

Сообщение Maxmen1332 » 18 янв 2019, 15:34

Собственно, как и ожидалось, спасибо большое!
К слову, второй интеграл я пытался свести к тригонометрической подстановке, но до такого что-то не допёр
Ну а решение первого это колдунство, шаманство и вообще, насколько очевидно, что мда
Ответить

Вернуться в «Неопределённые интегралы»