Неопределенные интегралы

Непосредственное интегрирование, замена переменной, интегрирование тригонометрических функций, интегрирование иррациональностей и так далее.
Tihonovakati
Сообщения: 9
Зарегистрирован: 26 фев 2019, 21:38

Неопределенные интегралы

Сообщение Tihonovakati » 11 мар 2019, 15:15

помогите пожалуйста решить неопределенные интегралы. Дроби с корнями для меня прям беда.(( Первый начала решать методом подстановки и застряла. (пусть \(t=3^{x}\), тогда производная \(dt=3^{x}\ln{3}dx\), а дальше как?

1. \(\int \frac{3^{x}}{\sqrt{1+3^{x}}}dx\)
2. \(\int \frac{1}{x(x+1)^{2}}dx\)

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1524
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Неопределенные интегралы

Сообщение Добрый Волк » 11 мар 2019, 19:23

В первом интеграле я бы сделал чуток иную замену. Я бы взял \(t=1+3^x\), тогда \(dt=3^x\ln{3}dx\), откуда имеем \(3^xdx=\frac{1}{\ln{3}}dt\). И интеграл тогда станет таким:

\(
\int\frac{3^xdx}{\sqrt{3^x+1}}
=\frac{1}{\ln{3}}\int\frac{dt}{\sqrt{t}}
\)

Что касается второго интеграла, то тут необходимо разложить дробь на элементарные, а потом уже интегрировать:

\(
\frac{1}{x(x+1)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^2}
\)

Как найти параметры A, B, C смотрите вторую часть примера №4. Там получается разложение почти такой же дроби, как и у вас. Можно пойти и не совсем стандартным путём:

\(
\frac{1}{x(x+1)^2}
=\frac{x+1-x}{x(x+1)^2}
=\frac{1}{x(x+1)}-\frac{1}{(x+1)^2}=\\

=\frac{x+1-x}{x(x+1)}-\frac{1}{(x+1)^2}
=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^2}
\)

Какой метод избрать - решайте сами :) Отмечу, что скорее всего, ваш преподаватель ожидает от вас именно решение стандартным способом, с определением коэффициентов A, B, C.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Tihonovakati
Сообщения: 9
Зарегистрирован: 26 фев 2019, 21:38

Re: Неопределенные интегралы

Сообщение Tihonovakati » 11 мар 2019, 21:28

Спасибо огромное.

Ответить

Вернуться в «Неопределённые интегралы»