Доказать лемму

Область определения, производные, исследование и построение графиков, определение наибольшего и наименьшего значений на отрезке, задачи на наибольшее и наименьшее значения. Уравнения касательной и нормали.
New-Man
Сообщения: 25
Зарегистрирован: 07 ноя 2017, 16:39

Доказать лемму

Сообщение New-Man » 26 май 2019, 21:53

Помогите пожалуйста доказать лемму, а то у меня не очень с доказательствами
Вложения
Скриншот 26-05-2019 133420.png
Скриншот 26-05-2019 133420.png (6.34 КБ) 167 просмотров

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1526
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Доказать лемму

Сообщение Добрый Волк » 27 май 2019, 00:26

Честно говоря, трудновато разглядеть знак в знаменателе. Можете прикрепить читаемый скриншот? Или наберите в редакторе формул.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

New-Man
Сообщения: 25
Зарегистрирован: 07 ноя 2017, 16:39

Re: Доказать лемму

Сообщение New-Man » 27 май 2019, 09:24

\(\ln\frac{k^{2}}{k^{2}-x^{2}}\leq \frac{x^{2}}{k^{2}-x^{2}}\)

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1526
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Доказать лемму

Сообщение Добрый Волк » 27 май 2019, 12:46

Ваше неравенство можно переписать так:

\(
\ln\left(1+\frac{x^2}{k^2-x^2}\right) \le\frac{x^2}{k^2-x^2}
\)

Обозначая \(t=\frac{x^2}{k^2-x^2}\), \(t\ge{0}\), придём к такому неравенству: \(t-\ln(1+t)\ge{0}\). Это неравенство доказывается стандартным способом: рассмотрите функцию \(f(t)=t-\ln(1+t)\) при условии \(t\ge{0}\) и покажите, что она убывает при \(t\gt{0}\). А далее, опираясь на значение \(f(0)\), делаете вывод относительно знака \(f(t)\).
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

New-Man
Сообщения: 25
Зарегистрирован: 07 ноя 2017, 16:39

Re: Доказать лемму

Сообщение New-Man » 27 май 2019, 13:05

Благодарю

Ответить

Вернуться в «Функции одной переменной»