двойной интеграл

Вычисление двойных и тройных интегралов в различных системах координат. Применение указанных интегралов для вычисления площадей, масс, моментов инерции и так далее.
aalinaa

двойной интеграл

Сообщение aalinaa » 07 авг 2019, 15:39

Вычислить объем тела, ограниченного плоскостями z=0, z=9-y^2, x^2+y^2=9.
В итоге интеграл выглядит так: \(\int_{D} dxdy \int_{0}^{9-y^{2}}dz, где D=x^{2}+y^{2}\)

Знаю, что при вычислении внешнего интеграла нужно перейти к полярным координатам (заменить dxdy на rdrdф)б и вот тут-то и получается какая-то ерунда.
Буду благодарна любой помощи.

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1526
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: двойной интеграл

Сообщение Добрый Волк » 08 авг 2019, 21:17

Тело, о котором идёт речь, ограничено сверху параболическим цилиндром \(z=9-y^2\), а сбоку - круговым цилиндром \(x^2+y^2=9\). Снизу это тело ограничено плоскостью \(z=0\). Для данного тела \(0\le{z}\le{9-y^2}\). В проекции на плоскость Oxy получим область, ограниченную окружностью \(x^2+y^2=9\). Цилиндр \(z=9-y^2\) пересекает плоскость Oxy по прямым \(y=-3\) и \(y=3\).

В цилиндрической системе получим:

\(0\le\varphi\le{2\pi}\), \(0\le\rho\le{3}\), \(0\le{z}\le{9-\rho^2\sin^2\varphi}\).

"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Ответить

Вернуться в «Двойные и тройные интегралы»