Пределы с иррациональностью

Первый и второй замечательный пределы. Вычисление пределов как с использованием правила Лопиталя, так и без оного. Исследование функций на непрерывность.
New-Man
Сообщения: 31
Зарегистрирован: 07 ноя 2017, 16:39

Пределы с иррациональностью

Сообщение New-Man »

Здравствуйте! Помогите пожалуйста разобраться с пределами:
1) \(\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}}\frac{\sqrt[4]{sinx}-\sqrt[3]{sinx}}{cos^{2}{x}}\)
2) \(\lim_{x\rightarrow -\infty }(x-\sqrt[3]{\frac{2x^{4}+x}{2x+cosx}})\)
3) \(\lim_{x\rightarrow +\infty }{x}^{\frac{3}{2}}(\sqrt{x+2}-2\sqrt{x+1}+\sqrt{x})\)
в первом вернее всего замену наверно надо сделать \(t = \sqrt[12]{sinx}\), а с косинусом что делать?
во втором и в третьем незнаю даже с чего начать
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1579
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Пределы с иррациональностью

Сообщение Алексей »

В пункте №1 можно принять \(t=\sqrt[12]{\sin{x}}\), если учесть, что \(\cos^2{x}=1-\sin^2{x}\). В пункте №2, полагаю, поможет домножение на сопряжённое выражение, но тут надо пробовать. Пункт №3 есть решённый в решебнике Демидовича: №464.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
New-Man
Сообщения: 31
Зарегистрирован: 07 ноя 2017, 16:39

Re: Пределы с иррациональностью

Сообщение New-Man »

Благодарю за совет, а в пункте №2 можно сделать так: \(x\) представить как \(\sqrt[3]{x}^{3}\) и далее применить разность кубов или нельзя так?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1579
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Пределы с иррациональностью

Сообщение Алексей »

У вас получится выражение такого вида

\(
x-\sqrt[3]{a}
=\left(\sqrt[3]{x}\right)^3-\left(\sqrt[9]{a}\right)^3
\)

Тогда получится разность кубов. В принципе, это возможно, конечно, но смысла в том не вижу.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
New-Man
Сообщения: 31
Зарегистрирован: 07 ноя 2017, 16:39

Re: Пределы с иррациональностью

Сообщение New-Man »

\(\lim_{x\rightarrow -\infty}(x-\sqrt[3]{\frac{2x^{4}+x}{2x+cosx}})=[\infty-\infty]= \lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{(x-\sqrt[3]{\frac{2x^{4}+x}{2x+cosx}})(x^{2}+x\sqrt[3]{\frac{2x^{4}+x}{2x+cosx}}+\sqrt[3]{(\frac{2x^{4}+x}{2x+cosx})^{2}}}{x^{2}+x\sqrt[3]{\frac{2x^{4}+x}{2x+cosx}}+\sqrt[3]{(\frac{2x^{4}+x}{2x+cosx})^{2}}}=\\=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x^{3}-\frac{2x^{4}+x}{2x+cosx}}{x^{2}+x\sqrt[3]{\frac{2x^{4}+x}{2x+cosx}}+\sqrt[3]{(\frac{2x^{4}+x}{2x+cosx})^{2}}}=\\
=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{x^{2}+x\sqrt[3]{\frac{2x^{4}+x}{2x+cosx}}+\sqrt[3]{(\frac{2x^{4}+x}{2x+cosx})^{2}}}*\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{2x^{4}+x^{3}cosx-2x^{4}+x}{2x+cosx}\)

дальше что делать?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1579
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Пределы с иррациональностью

Сообщение Алексей »

На основании чего вы перешли к произведению пределов? Формула \(\lim(a\cdot{b})=\lim{a}\cdot\lim{b}\) верна лишь при условии существования конечных пределов \(\lim{a}\) и \(\lim{b}\). Что-то я не вижу доказательства, что пределы, на которые вы разбили исходный предел, существуют.

Насколько я могу судить по первой прикидке, вам нужно сделать два действия:
  1. Записать выражение под пределом в виде \(\frac{p(x)}{q(x)}\), где \(p(x)=x^3\cos{x}-x\).
  2. Рассмотреть две последовательности \(x_n=\frac{\pi}{2}-2\pi{n}\) и \(y_n=\frac{\pi}{3}-2\pi{n}\) и показать, что пределы выражений \(\frac{p(x_n)}{q(x_n)}\) и \(\frac{p(y_n)}{q(y_n)}\) различаются. Это будет означать, что исходный предел не существует.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
New-Man
Сообщения: 31
Зарегистрирован: 07 ноя 2017, 16:39

Re: Пределы с иррациональностью

Сообщение New-Man »

а можно в принципе выражение под корнем подогнать под эквивалентность \(\sqrt[3]{1+x}-1\sim\frac{x}{3}\), и легче вычислить потом будет,
\(\sqrt[3]{\frac{2x^4+x}{2x+\cos(x)}}=\sqrt[3]{\frac{2x^{4}(1+\frac{1}{2x^3})}{2x(1+\frac{\cos(x)}{2x})}}=x\sqrt[3]{\frac{1+\frac{1}{2x^3}}{1+\frac{\cos(x)}{2x}}}\), правильно ли сделал?
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1579
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Пределы с иррациональностью

Сообщение Алексей »

New-Man писал(а): 11 май 2020, 20:17 а можно в принципе выражение под корнем подогнать под эквивалентность \(\sqrt[3]{1+x}-1\sim\frac{x}{3}\), и легче вычислить потом будет,
\(\sqrt[3]{\frac{2x^4+x}{2x+\cos(x)}}=\sqrt[3]{\frac{2x^{4}(1+\frac{1}{2x^3})}{2x(1+\frac{\cos(x)}{2x})}}=x\sqrt[3]{\frac{1+\frac{1}{2x^3}}{1+\frac{\cos(x)}{2x}}}\), правильно ли сделал?
Эквивалентности применяются в пределе от отношения функций \(\frac{f(x)}{g(x)}\). У вас под пределом имеется разность функций, а не их отношение.

Я дал свой совет - ещё месяц назад. Не хотите следовать ему - не следуйте. Я вообще не понимаю, зачем целый месяц решать предел.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить

Вернуться в «Пределы. Исследование функций на непрерывность.»