Формула общего члена ряда

Признаки сходимости числовых рядов: необходимый признак, признаки сравнения, Коши (радикальный и интегральный) и Д'Аламбера. Нахождение суммы ряда. Область сходимости функционального ряда. Ряды Тейлора и Фурье. Применение рядов для приближённых вычислений.
tanya

Формула общего члена ряда

Сообщение tanya »

Нужно записать формулу общего члена ряда 1+1/4+1/9+1/25...

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1572
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Формула общего члена ряда

Сообщение Добрый Волк »

И с чем у вас возникли затруднения?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

tanya

Re: Формула общего члена ряда

Сообщение tanya »

С тем, что не могу составить формулу, вы сможете помочь с этим?

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1572
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Формула общего члена ряда

Сообщение Добрый Волк »

tanya писал(а):
22 май 2020, 09:05
С тем, что не могу составить формулу, вы сможете помочь с этим?
Просто я не вижу попыток и идей самостоятельного решения. Впрочем, вы уверены в правильности условия? Не пропущена ли \(\frac{1}{16}\)?
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Гость

Re: Формула общего члена ряда

Сообщение Гость »

В том то и проблема, что я не понимаю опечатка это или нет, пример из сборника, если бы там была 1/16, то и вопросов бы и не возникало!

Аватара пользователя
Добрый Волк
Администратор
Сообщения: 1572
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Формула общего члена ряда

Сообщение Добрый Волк »

Гость писал(а):
22 май 2020, 09:29
В том то и проблема, что я не понимаю опечатка это или нет, пример из сборника, если бы там была 1/16, то и вопросов бы и не возникало!
Ну, знаете ли, я тоже не телепат, чтобы понять, где вопросы возникают, а где нет :)

Впрочем, отсутствие \(\frac{1}{16}\) - не такая уж проблема. Видите ли, такие задачи имеют бесконечное число решений. По сути, нам нужно подобрать последовательность чисел \(\{x_n\}\) такую, что выполнены 4 условия:

\(
x_1=1;\;x_2=4;\;x_3=9;\;x_4=25.
\)

Например, поищем последовательность \(x_n\) в таком виде:

\(x_n=an^3+bn^2+cn+d\)

Так как \(x_1=1\), то \(a+b+c+d=1\). Составляя аналогичным образом ещё три уравнения, приходим к выводу, что \(a=\frac{3}{2}\), \(b=-8\), \(c=\frac{33}{2}\), \(d=-9\). Иными словами, \(x_n=\frac{3n^3}{2}-8n^2+\frac{33n}{2}-9\).

Общий член ряда примет такой вид:

\(
u_n=\frac{1}{\frac{3n^3}{2}-8n^2+\frac{33n}{2}-9}
\)

Непосредственной проверкой вы убедитесь, что \(u_1=1\), \(u_2=\frac{1}{4}\), \(u_3=\frac{1}{9}\), \(u_4=\frac{1}{25}\).

Впрочем, повторюсь, это не единственный вариант. Можно поступить вот так:

\(
u_n=
\left\{\begin{aligned}
& \frac{1}{n^2},\;1\le{n}\le{3};\\
&\frac{1}{25};\;n\ge{4}.
\end{aligned}\right.
\)

И таких вариантов можно придумать сколь угодно много.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"

Ответить

Вернуться в «Числовые и функциональные ряды»