№179

Решение и обсуждение задач из сборника Бермана.
Аватара пользователя
Маргарита
Сообщения: 5
Зарегистрирован: 14 ноя 2021, 03:23

№179

Сообщение Маргарита »

Изображение

\(cos\frac{\pi n}{2}\) - ограниченная функция
\(\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}=0\) \(\Rightarrow \frac{1}{n}\) -бесконечно малая
Исходя из этого, мы можем утверждать, что \(\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{cos\frac{\pi n}{2}}{n}=0\). (так как мы умножаем бесконечно малую на ограниченную)

\(\varepsilon =0,001=(0,1)^{3}\)
Нам нужно найти N, начиная с которого все последующие члены последовательности (N+1,N+2... ) будут лежать в \(\varepsilon\)- окрестности точки а=0, т.е выполняется неравенство:
\(\left | U_{n}-a \right |<\varepsilon\)
\(\left | \frac{cos\frac{\pi n}{2}}{n} \right |<\varepsilon\) притом \(n\in \mathbb{N}\)
Рассмотрим, какие значения принимает \(cos\frac{\pi n}{2}\) в зависимости от n.
При нечетный n (n=2k-1,k=1,2,3...) справедливость неравенства не вызывает сомнений. Нечетные члены последовательности принимают значение предела последовательности. Это значит,что каждый нечетный член как бы запрыгивают в нашу \(\varepsilon\)- окрестность, но следующий четный n может в ней не оказаться. Тогда наша задача сводится к поиску такого N, начиная с которого все четные члены последовательности будут отличаться от a=0 меньше,чем на 0,001. Для рассмотрения только четных номером делаем замену n=2k, k=1,2,3...
\(\left | \frac{cos\pi k}{2k} \right |<\varepsilon\)
Заметим, что \(cos\pi k\sim (-1)^{k}\). Тогда
\(\left | \frac{(-1)^{k})}{2k} \right |<\varepsilon\)
Снимем знак модуля:
\(\frac{1}{2k}<\varepsilon\)
\(\frac{1}{n}<\varepsilon\)
\(n>\frac{1}{\varepsilon }\)
\(n>1000\)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: №179

Сообщение Алексей »

Спасибо, вы рассмотрели интересный пример. Мне кажется, что ответ, указанный в задачнике, не совсем корректный.

Нам нужно найти значение номера, для которого будет истинно неравенство \(\left|\frac{\cos\frac{\pi{n}}{2}}{n}\right|\le\varepsilon\), где \(\varepsilon=0{,}001\).

Ввиду очевидного неравенства \(\left|\frac{\cos\frac{\pi{n}}{2}}{n}\right|\le\frac{1}{n}\) можем сделать вывод, что если \(\frac{1}{n}\le\varepsilon\), т.е. \(n\ge\frac{1}{\varepsilon}\), то имеем \(\left|\frac{\cos\frac{\pi{n}}{2}}{n}\right|\le\varepsilon\). Однако же для случаев \(n\lt\frac{1}{\varepsilon}\) мы не можем сказать ничего определённого, т.е. рассматриваемое неравенство может быть как истинно, так и нет.

Например, если \(n\ge{1000}\), то неравенство будет истинным. Однако оно же будет истинным и при \(n=999\) - это легко проверить непосредственно. Вообще, неравенство \(\left|\frac{\cos\frac{\pi{n}}{2}}{n}\right|\le\varepsilon\) будет истинным и в случае, если \(\cos\frac{\pi{n}}{2}=0\) - при любом значении \(\varepsilon\gt{0}\).


По факту получается, что неравенство \(\left|\frac{\cos\frac{\pi{n}}{2}}{n}\right|\le 0{,}001\) будет верным при \(n\ge{999}\), а также при нечётных значениях \(n\), меньших чем 999.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Аватара пользователя
Маргарита
Сообщения: 5
Зарегистрирован: 14 ноя 2021, 03:23

Re: №179

Сообщение Маргарита »

Согласна с Вашей справедливой критикой. Поставленный вопрос: "Каково должно быть n,чтобы \(\left | U_{n}-a \right |\leq \varepsilon =0,001\)?" Если нужно дать четкий ответ, то, наверное, стоит сказать,что это n\(\geq 999\) и все нечетные n до 999.
Получается,что я скорее решила немного другую задачу.
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: №179

Сообщение Алексей »

Я ни в коей мере не критиковал ваше решение :) Мои рассуждения касались ошибки в задачнике, так как в ответах указано, что \(n\ge{1000}\). Если бы в условии задачи было сказано примерно так: "начиная с какого номера \(N\) для всех значений \(n\ge{N}\) абсолютная величина разности не превосходит 0,001" , то в ответе можно было бы просто указать \(n\ge{999}\). Однако если понимать вопрос задачи без дополнительных трактовок, то, получается, что ответ в задачнике неверный.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
Ответить