Исследовать интеграл на сходимость

Нахождение неопределённых интегралов. Вычисление определённых интегралов. Применение определённых интегралов для нахождения площадей, длин дуг и объёмов тел. Несобственные интегралы.
calabi
Сообщения: 9
Зарегистрирован: 30 май 2022, 13:17

Исследовать интеграл на сходимость

Сообщение calabi »

Подскажите, как исследовать интеграл на сходимость(
\(\int_{1}^{\infty}\frac{x}{1+x^2\sin^2 x}dx\)
Аватара пользователя
Алексей
Администратор
Сообщения: 1708
Зарегистрирован: 18 янв 2014, 03:13

Re: Исследовать интеграл на сходимость

Сообщение Алексей »

Сперва докажите, что при \(x\ge{1}\) будут верными такие неравенства:

\(
\frac{x}{1+x^2\sin^2{x}}\ge\frac{x}{1+x^2}\ge\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}
\)

Исходя из этого, а также с учётом расходимости интеграла \(\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x}\), вы и получите ответ на вопрос о сходимости исходного интеграла.
"Именно то, что наиболее естественно, менее всего подобает человеку." Братья Стругацкие, "Хромая судьба"
calabi
Сообщения: 9
Зарегистрирован: 30 май 2022, 13:17

Re: Исследовать интеграл на сходимость

Сообщение calabi »

Большое спасибо!!
Ответить