Для решений задач из сборника Демидовича создан отдельный сайт: Решебник. Все новые решения будут размещаться на этом сайте. Там же я планирую добавлять решения и из иных сборников.

Реклама

Решебник к книге Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу". Предел функции. №451- №460

Задача №451

Найти предел $\lim_{x\to{0}}\frac{x^2}{\sqrt[5]{1+5x}-(1+x)}$.

Решение

Здесь можно использовать и домножение на сопряжённое выражение, но более простой путь – применить замену переменной. Полагая $t=\sqrt[5]{1+5x}$, получим: $x=\frac{t^5-1}{5}$. Так как $x\to{0}$, то $t\to{1}$:

$$ \lim_{x\to{0}}\frac{x^2}{\sqrt[5]{1+5x}-(1+x)}=\left|\frac{0}{0}\right|=\lim_{t\to{1}}\frac{\left(\frac{t^5-1}{5}\right)^2}{t-\left(1+\frac{t^5-1}{5}\right)}=-\frac{1}{5}\cdot\lim_{t\to{1}}\frac{\left(t^5-1\right)^2}{t^5-5t+4}=\\ =-\frac{1}{5}\cdot\lim_{t\to{1}}\frac{(t-1)^2\cdot\left(t^4+t^3+t^2+t+1\right)^2}{(t-1)^2\cdot\left(t^3+2t^2+3t+4\right)} =-\frac{1}{5}\cdot\lim_{t\to{1}}\frac{\left(t^4+t^3+t^2+t+1\right)^2}{(t^3+2t^2+3t+4}=-\frac{1}{5}\cdot\frac{25}{10}=-\frac{1}{2}. $$

Решение можно было оформить и чуток по-иному, используя выделение главной части (см. Ляшко, Боярчук, Гай, Головач "Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл", №160 (стр.74)). Полагая $t=\sqrt[5]{1+5x}-1$, получим: $x=\frac{(t+1)^5-1}{5}$. Так как $t\to{0}$, то:

$$ \lim_{x\to{0}}\frac{x^2}{\sqrt[5]{1+5x}-(1+x)}=\left|\frac{0}{0}\right|=\lim_{t\to{0}}\frac{\left(\frac{(t+1)^5-1}{5}\right)^2}{t+1-\left(1+\frac{(t+1)^5-1}{5}\right)}=-\frac{1}{5}\cdot\lim_{t\to{0}}\frac{\left((t+1)^5-1\right)^2}{(t+1)^5-5t-1}=\\ =-\frac{1}{5}\cdot\lim_{t\to{0}}\frac{\left(5t+o(t)\right)^2}{5t+10t^2+1+o(t^2)-5t-1} =-\frac{1}{5}\cdot\lim_{t\to{0}}\frac{25t^2+o(t^2)}{10t^2+o(t^2)}=\\ =-\lim_{t\to{0}}\frac{t^2+o(t^2)}{2t^2+o(t^2)} =\left|\begin{aligned}&t^2+o(t^2)\sim{t^2}\\&2t^2+o(t^2)\sim{2t^2}\end{aligned}\right| =-\lim_{t\to{0}}\frac{t^2}{2t^2}=-\frac{1}{2}. $$

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

Задача №452

Найти предел $\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+\alpha{x}}-\sqrt[n]{1+\beta{x}}}{x}$, $m\in{N}$, $n\in{N}$.

Решение

При решении примера полагаем, что $\alpha\neq{0}$ и $\beta\neq{0}$. Здесь можно использовать метод выделения главной части, а можно и результат задачи №444, т.е. $\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}=\frac{1}{n}$. Также учтём доказанный в ходе решения задачи №444 предел $\lim_{x\to{0}}\sqrt[n]{1+x}=1$.

$$ \begin{aligned} \lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+\alpha{x}}-1}{x}=\left|\frac{0}{0}\right|=\left|\begin{aligned}&t=\alpha{x};\;x=\frac{t}{\alpha};\\&t\to{0}.\end{aligned}\right|=\alpha\cdot\lim_{t\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+t}-1}{t}=\frac{\alpha}{m};\\ \lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+\beta{x}}-1}{x}=\left|\frac{0}{0}\right|=\left|\begin{aligned}&t=\beta{x};\;x=\frac{t}{\beta};\\&t\to{0}.\end{aligned}\right|=\beta\cdot\lim_{t\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+t}-1}{t}=\frac{\beta}{n}. \end{aligned} $$

Таким образом, исходный предел преобразуется так:

$$ \lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+\alpha{x}}-\sqrt[n]{1+\beta{x}}}{x}=\left|\frac{0}{0}\right|=\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+\alpha{x}}-1-\left(\sqrt[n]{1+\beta{x}}-1\right)}{x}=\\ =\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\sqrt[m]{1+\alpha{x}}-1}{x}-\frac{\sqrt[n]{1+\beta{x}}-1}{x}\right) =\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+\alpha{x}}-1}{x}-\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+\beta{x}}-1}{x} =\frac{\alpha}{m}-\frac{\beta}{n}. $$

Можно использовать и выделение главной части. Результат, разумеется, будет таким же:

$$ \lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+\alpha{x}}-\sqrt[n]{1+\beta{x}}}{x}=\left|\frac{0}{0}\right|=\lim_{x\to{0}}\frac{1+\frac{\alpha{x}}{m}+o(x)-\left(1+\frac{\beta{x}}{n}+o(x)\right)}{x}=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{\frac{\alpha{x}}{m}-\frac{\beta{x}}{n}+o(x)}{x}=\left|\begin{aligned}&\frac{\alpha{x}}{m}-\frac{\beta{x}}{n}+o(x)\sim\frac{\alpha{x}}{m}-\frac{\beta{x}}{n};\\&x\sim{x}.\end{aligned}\right| =\lim_{x\to{0}}\frac{\frac{\alpha{x}}{m}-\frac{\beta{x}}{n}}{x}=\frac{\alpha}{m}-\frac{\beta}{n}. $$

Ответ: $\frac{\alpha}{m}-\frac{\beta}{n}$.

Задача №453

Найти предел $\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+\alpha{x}}\cdot\sqrt[n]{1+\beta{x}}-1}{x}$, $m\in{N}$, $n\in{N}$.

Решение

При решении примера полагаем, что $\alpha\neq{0}$ и $\beta\neq{0}$. Здесь можно использовать метод выделения главной части, а можно и результат задачи №444, т.е. $\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}=\frac{1}{n}$. Также применим такую формулу: $\lim_{x\to{0}}\sqrt[n]{1+x}=1$ (этот результат доказан в ходе решения той же задачи №444).

$$ \begin{aligned} &\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+\alpha{x}}-1}{x}=\left|\frac{0}{0}\right|=\left|\begin{aligned}&t=\alpha{x};\;x=\frac{t}{\alpha};\\&t\to{0}.\end{aligned}\right|=\alpha\cdot\lim_{t\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+t}-1}{t}=\frac{\alpha}{m};\\ &\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+\beta{x}}-1}{x}=\left|\frac{0}{0}\right|=\left|\begin{aligned}&t=\beta{x};\;x=\frac{t}{\beta};\\&t\to{0}.\end{aligned}\right|=\beta\cdot\lim_{t\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+t}-1}{t}=\frac{\beta}{n};\\ &\lim_{x\to{0}}\sqrt[m]{1+\alpha{x}}=\left|\begin{aligned}&t=\alpha{x};\\&t\to{0}.\end{aligned}\right| =\lim_{t\to{0}}\sqrt[m]{1+t}=1. \end{aligned} $$

Исходный предел преобразуем следующим образом:

$$ \lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+\alpha{x}}\cdot\sqrt[n]{1+\beta{x}}-1}{x}=\left|\frac{0}{0}\right|=\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+\alpha{x}}\left(\sqrt[n]{1+\beta{x}}-1+1\right)-1}{x}=\\ =\lim_{x\to{0}}\left(\sqrt[m]{1+\alpha{x}}\cdot\frac{\sqrt[n]{1+\beta{x}}-1}{x}+\frac{\sqrt[m]{1+\alpha{x}}-1}{x}\right) =1\cdot\frac{\alpha}{m}+\frac{\beta}{n}=\frac{\alpha}{m}+\frac{\beta}{n}. $$

Можно использовать и выделение главной части, как в предыдущем примере.

Ответ: $\frac{\alpha}{m}+\frac{\beta}{n}$.

Задача №454

Пусть $P(x)=a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n$, $m\in{N}$. Доказать, что $\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+P(x)}-1}{x}=\frac{a_1}{m}$.

Решение

Используем результат задачи №444, т.е. $\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}=\frac{1}{n}$. Найдём пару вспомогательных пределов:

$$ \begin{aligned} &\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+P(x)}-1}{P(x)}=\left|\frac{0}{0}\right|=\left|\begin{aligned}&t=P(x);\\&t\to{0}.\end{aligned}\right|=\lim_{t\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+t}-1}{t}=\frac{1}{m};\\ &\lim_{x\to{0}}\frac{P(x)}{x}=\left|\frac{0}{0}\right|=\lim_{x\to{0}}\left(a_1+a_2x+\ldots+a_nx^{n-1}\right)=a_1. \end{aligned} $$

Вернёмся к исходному пределу:

$$ \lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+P(x)}-1}{x}=\left|\frac{0}{0}\right|=\lim_{x\to{0}}\left( \frac{\sqrt[m]{1+P(x)}-1}{P(x)}\cdot\frac{P(x)}{x} \right)=\frac{1}{m}\cdot{a_1}=\frac{a_1}{m}. $$

Ответ: $\frac{a_1}{m}$.

Задача №455

Найти предел $\lim_{x\to{1}}\frac{\sqrt[m]{x}-1}{\sqrt[n]{x}-1}$.

Решение

Можно использовать результат задачи №444, т.е. $\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}=\frac{1}{n}$. Осуществим замену переменной $x=1+t$:

$$ \lim_{x\to{1}}\frac{\sqrt[m]{x}-1}{\sqrt[n]{x}-1}=\left|\frac{0}{0}\right|=\left|\begin{aligned}&x=1+t;\\&t\to{0}.\end{aligned}\right|=\lim_{t\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+t}-1}{\sqrt[n]{1+t}-1} =\lim_{t\to{0}}\frac{\frac{\sqrt[m]{1+t}-1}{t}}{\frac{\sqrt[n]{1+t}-1}{t}} =\frac{\displaystyle{\lim_{t\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+t}-1}{t}}}{\displaystyle{\lim_{t\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+t}-1}{t}}}=\frac{n}{m}. $$

Можно решить и иным путём, сделав замену $x=t^{mn}$:

$$ \lim_{x\to{1}}\frac{\sqrt[m]{x}-1}{\sqrt[n]{x}-1}=\left|\frac{0}{0}\right|=\left|\begin{aligned}&x=t^{mn};\\&t\to{1}.\end{aligned}\right|=\lim_{t\to{1}}\frac{t^n-1}{t^m-1}=\\ =\lim_{t\to{1}}\frac{(t-1)\cdot\left(t^{n-1}+t^{n-2}+\ldots+t+1\right)}{(t-1)\cdot\left(t^{m-1}+t^{m-2}+\ldots+t+1\right)} =\lim_{t\to{1}}\frac{t^{n-1}+t^{n-2}+\ldots+t+1}{t^{m-1}+t^{m-2}+\ldots+t+1}=\frac{n}{m}. $$

Отмечу, что подобные примеры допускают немало вариантов решения. Можно пойти и иным путем, сделав замену $x=(1+t)^{mn}$.

Ответ: $\frac{n}{m}$.

Задача №455.1

Найти предел $\lim_{x\to{1}}\left(\frac{3}{1-\sqrt{x}}-\frac{2}{1-\sqrt[3]{x}}\right)$.

Решение

Я исправил условие этого примера. Дело в том, что в задачнике (по крайней мере, в книге 1997 года издания) указано такое условие: $\lim_{x\to{1}}\left(\frac{3}{1-\sqrt{x}}-\frac{3}{1-\sqrt[3]{x}}\right)$. Но в этом случае получим в ответе $\infty$, что не соответствует ответу, размещенному в задачнике, т.е. $\frac{1}{2}$. Поэтому я исправил опечатку, заменив в числителе второй дроби число 3 числом 2.

Осуществим замену переменной, приняв $x=t^6$. Приводя дроби к одному знаменателю, будем иметь:

$$ \lim_{x\to{1}}\left(\frac{3}{1-\sqrt{x}}-\frac{2}{1-\sqrt[3]{x}}\right)=\left|\infty-\infty\right|=\left|\begin{aligned}&x=t^6;\\&t\to{1}.\end{aligned}\right|=\lim_{t\to{1}}\left(\frac{3}{1-t^3}-\frac{2}{1-t^2}\right)=\\ =\lim_{t\to{1}}\left(\frac{3}{(1-t)\cdot\left(1+t+t^2\right)}-\frac{2}{(1-t)\cdot(1+t)}\right) =\lim_{t\to{1}}\frac{1+t-2t^2}{(1-t)(1+t)\left(1+t+t^2\right)}=\\ =\lim_{t\to{1}}\frac{(1-t)(1+2t)}{(1-t)(1+t)\left(1+t+t^2\right)} =\lim_{t\to{1}}\frac{1+2t}{(1+t)\left(1+t+t^2\right)}=\frac{1}{2}. $$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

Задача №456

Найти предел $\lim_{x\to{1}}\frac{\left(1-\sqrt{x}\right)\cdot\left(1-\sqrt[3]{x}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1-\sqrt[n]{x}\right)}{(1-x)^{n-1}}$.

Решение

Используем результат задачи №444, т.е. $\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}=\frac{1}{n}$. Осуществим замену переменной $x=1+t$:

$$ \lim_{x\to{1}}\frac{\left(1-\sqrt{x}\right)\cdot\left(1-\sqrt[3]{x}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1-\sqrt[n]{x}\right)}{(1-x)^{n-1}} =\lim_{x\to{1}}\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\cdot\left(\sqrt[3]{x}-1\right)\cdot\ldots\cdot\left(\sqrt[n]{x}-1\right)}{(x-1)^{n-1}}=\\ =\left|\begin{aligned}&x=t+1;\\&t\to{0}.\end{aligned}\right| =\lim_{t\to{0}}\frac{\left(\sqrt{1+t}-1\right)\cdot\left(\sqrt[3]{1+t}-1\right)\cdot\ldots\cdot\left(\sqrt[n]{1+t}-1\right)}{t^{n-1}}=\\ =\lim_{t\to{0}}\left(\frac{\sqrt{1+t}-1}{t}\cdot\frac{\sqrt[3]{1+t}-1}{t}\cdot\ldots\cdot\frac{\sqrt[n]{1+t}-1}{t}\right) =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot\ldots\cdot\frac{1}{n}=\frac{1}{n!}. $$

Ответ: $\frac{1}{n!}$.

Задача №457

Найти предел $\lim_{x\to{+\infty}}\left(\sqrt{(x+a)(x+b)}-x\right)$.

Решение

$$ \lim_{x\to{+\infty}}\left(\sqrt{(x+a)(x+b)}-x\right)=|\infty-\infty|=\lim_{x\to{+\infty}}\frac{\left(\sqrt{(x+a)(x+b)}-x\right)\cdot\left(\sqrt{(x+a)(x+b)}+x\right)}{\sqrt{(x+a)(x+b)}+x}=\\ =\lim_{x\to{+\infty}}\frac{(x+a)(x+b)-x^2}{\sqrt{(x+a)(x+b)}+x} =\lim_{x\to{+\infty}}\frac{x(a+b)}{\sqrt{(x+a)(x+b)}+x} =\lim_{x\to{+\infty}}\frac{a+b}{\sqrt{\left(1+\frac{a}{x}\right)\left(1+\frac{b}{x}\right)}+1}=\frac{a+b}{2}. $$

Ответ: $\frac{a+b}{2}$.

Задача №458

Найти предел $\lim_{x\to{+\infty}}\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\right)$.

Решение

$$ \lim_{x\to{+\infty}}\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\right)=|\infty-\infty|=\\ =\lim_{x\to{+\infty}}\frac{\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\right)\cdot\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}}=\\ =\lim_{x\to{+\infty}}\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}} =\lim_{x\to{+\infty}}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}}{\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{x\sqrt{x}}}}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}. $$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

Задача №459

Найти предел $\lim_{x\to{+\infty}}x\left(\sqrt{x^2+2x}-2\sqrt{x^2+x}+x\right)$.

Решение

$$ \lim_{x\to{+\infty}}x\left(\sqrt{x^2+2x}-2\sqrt{x^2+x}+x\right)=\\ =\lim_{x\to{+\infty}}\frac{x\left(\sqrt{x^2+2x}-2\sqrt{x^2+x}+x\right)\left(\sqrt{x^2+2x}+2\sqrt{x^2+x}+x\right)}{\sqrt{x^2+2x}+2\sqrt{x^2+x}+x}=\\ =\lim_{x\to{+\infty}}\frac{2x^2\cdot\left(\sqrt{x^2+2x}-x-1\right)}{\sqrt{x^2+2x}+2\sqrt{x^2+x}+x}=\\ =\lim_{x\to{+\infty}}\frac{2x^2\cdot\left(\sqrt{x^2+2x}-(x+1)\right)\cdot\left(\sqrt{x^2+2x}+x+1\right)}{\left(\sqrt{x^2+2x}+2\sqrt{x^2+x}+x\right)\cdot\left(\sqrt{x^2+2x}+x+1\right)}=\\ =\lim_{x\to{+\infty}}\frac{-2x^2}{\left(\sqrt{x^2+2x}+2\sqrt{x^2+x}+x\right)\cdot\left(\sqrt{x^2+2x}+x+1\right)}=\\ =\lim_{x\to{+\infty}}\frac{-2}{\left(\sqrt{1+\frac{2}{x}}+2\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1\right)\cdot\left(\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1+\frac{1}{x}\right)} =\frac{-2}{4\cdot{2}}=-\frac{1}{4}. $$

Ответ: $-\frac{1}{4}$.

Задача №460

Найти предел $\lim_{x\to{0+0}}\left(\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}}}-\sqrt{\frac{1}{x}-\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}}}\right)$.

Решение

$$ \lim_{x\to{0+0}}\left(\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}}}-\sqrt{\frac{1}{x}-\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}}}\right)=|\infty-\infty|=\\ =\lim_{x\to{0+0}}\frac{\left(\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}}}-\sqrt{\frac{1}{x}-\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}}}\right)\cdot\left(\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}}}+\sqrt{\frac{1}{x}-\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}}}\right)}{\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}}}+\sqrt{\frac{1}{x}-\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}}}}=\\ =2\cdot\lim_{x\to{0+0}}\frac{\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}}}{\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}}}+\sqrt{\frac{1}{x}-\sqrt{\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}}}}=\\ =2\cdot\lim_{x\to{0+0}}\frac{\sqrt{1+\sqrt{x}}}{\sqrt{1+\sqrt{x+x\sqrt{x}}}+\sqrt{1-\sqrt{x+x\sqrt{x}}}} =2\cdot\frac{1}{1+1}=1. $$

Ответ: $1$.

Вернуться к списку тем Задать вопрос на форуме Мой аккаунт ВКонтакте Записаться на курс онлайн-занятий